TANH関数の逆を求めたいけど、書き方がわからないですよね。

そんなときに使うのがATANH関数です。=ATANH(値) と書くだけで、双曲線逆正接をかんたんに求められます。

この記事では基本の書き方から、TANH関数との逆関数の関係、LN関数を使った検算方法、フィッシャー変換への応用まで紹介します。

スプレッドシートのATANH関数とは？

ATANH関数（読み方: エータンエイチ、またはアークハイパボリックタンジェント関数）は、指定した値の双曲線逆正接を返す関数です。名前の「A」は「Arc（逆）」を意味します。

たとえば =ATANH(0.5) と入力すると「0.54930…」が返ります。これが0.5の双曲線逆正接の値です。

ATANH関数はTANH関数の逆関数にあたります。TANH(0.54930) が約0.5を返すので、ATANH(0.5) は約0.54930を返すわけです。

ATANH関数にできることをまとめると、次のとおりです。

• TANH関数の結果から元の値を逆算する
• LN関数と同じ計算結果を式で確認できる
• 統計学のフィッシャー変換（相関係数の変換）に使う
• -1から1の範囲の値を実数全体にマッピングする

NOTE

ATANH関数はGoogleスプレッドシートの全バージョンで使えます。Excelとも完全に互換性があるので、ファイルのやり取りでも安心です。

ATANH関数の書き方（構文と引数）

基本構文

=ATANH(値)

カッコの中に、双曲線逆正接を求めたい数値を指定します。

引数の説明

引数は1つだけです。ただし、-1から1の範囲（両端を含まない） に制限されるので注意してください。-1や1を渡すとエラーになります。

TIP

ASINH関数は引数に制限がなく、ACOSH関数は1以上の値を受け付けます。ATANH関数だけが「-1 < x < 1」という両側の制限を持っています。

ATANH関数の基本的な使い方

代表的な値でATANH関数の動きを確認してみましょう。

正の値を渡す

=ATANH(0.5)

結果は「0.54930…」です。

1に近い値も見てみます。

=ATANH(0.9)

結果は「1.47221…」です。1に近づくほど結果が急激に大きくなるのが特徴ですね。

0を渡す

=ATANH(0)

結果は「0」です。ATANH(0)=0 は覚えておくと便利です。

負の値を渡す

=ATANH(-0.5)

結果は「-0.54930…」です。ATANH(0.5)の符号を反転した値になっています。

これはATANH関数が「奇関数」だからです。ATANH(-x) = -ATANH(x) が常に成り立ちます。

まとめると

代表的な入力値と結果を一覧にまとめます。

1に近づくほど結果が急激に大きくなり、-1に近づくほど急激に小さくなります。

セル参照を使う

もちろんセル参照も使えます。A1セルに数値が入っていれば、次のように書きます。

=ATANH(A1)

A列に複数の値を入れて、B列にATANH関数を並べれば一括計算もできますよ。

TANH関数との逆関数の関係

ATANH関数はTANH関数の逆関数です。つまり、次の関係が成り立ちます。

ATANH(TANH(x)) = x
TANH(ATANH(x)) = x  （xが-1〜1の範囲のとき）

実際にスプレッドシートで確認してみましょう。

TANH(1)の結果をATANHに渡すと、元の「1」に戻ります。逆関数なので当然ですが、検算に便利ですよ。

ATANH関数の数学的な仕組み

定義式とLN関数での検算

ATANH関数は数学的に次のように定義されています。

ATANH(x) = (1/2) × LN((1+x) / (1-x))

ここでLNは自然対数（ネイピア数eを底とする対数）です。スプレッドシートではLN関数を使って同じ計算ができます。

=0.5*LN((1+A1)/(1-A1))

この式とATANH(A1)は同じ結果を返します。A1に「0.5」を入れて確認してみましょう。

どちらも同じ値ですね。ATANH関数の結果が正しいか不安なときは、LN関数を使った式で検算できます。

TIP

LN関数は自然対数を返す関数です。定義式の分母 (1-x) から、x=1 のとき分母が0になってしまう理由がわかりますね。これがATANH関数の引数に1を渡せない理由です。

なぜ-1と1を引数に渡せないのか

定義式 (1/2) × LN((1+x)/(1-x)) を見ると理由がわかります。

• x=1 のとき: 分母が (1-1)=0 になり、ゼロで割ることになる
• x=-1 のとき: 分子の中身が (1+(-1))=0 になり、LN(0)=負の無限大

どちらも数学的に定義できないため、ATANH関数は-1と1を受け付けません。

実務での活用例

フィッシャー変換（相関係数の変換）

ATANH関数が実務で最も役立つのは、統計学のフィッシャー変換です。

相関係数（r）は-1から1の範囲に収まる値ですが、そのままでは統計的な検定や比較がしにくいという問題があります。フィッシャー変換を使うと、相関係数を正規分布に近い値（z）に変換できます。

フィッシャー変換の公式は次のとおりです。

z = ATANH(r)

実はATANH関数そのものがフィッシャー変換の計算式と同じなんです。

たとえば、2つの相関係数（r=0.7とr=0.8）の差が統計的に意味があるかを調べたいとき、まずATANH関数で変換します。

変換前の差は0.1ですが、変換後の差は約0.23です。変換後のz値を使えば、標準的な統計手法で差の検定ができますよ。

NOTE

Googleスプレッドシートには FISHER 関数がありますが、これは ATANH 関数と同じ計算を行います。=FISHER(0.7) と =ATANH(0.7) は同じ結果を返します。

TANH値から元の値を逆算する

TANH関数でスコアリングした結果から、元のデータに戻したい場面があります。

たとえば、TANH関数で-1から1にマッピングしたスコアがあるとします。ATANH関数を使えば元の値を逆算できます。

=ATANH(B1)

TANH関数の記事で紹介した正規化の逆変換ですね。元のデータを復元したいときに役立ちます。

よくあるエラーと対処法

ATANH関数でよくあるトラブルをまとめます。

-1または1を渡したとき

=ATANH(1)

結果は #NUM! エラーです。ATANH関数は-1と1を引数に取れません。

-1や1に近い値なら問題なく計算できます。

=ATANH(0.999)

結果は「3.80020…」です。1に限りなく近い値を渡すと、結果は非常に大きくなります。

範囲外の値を渡したとき

=ATANH(2)

結果は #NUM! エラーです。引数は-1から1の範囲（両端除く）でなければなりません。

文字列を渡したとき

=ATANH("abc")

結果は #VALUE! エラーです。引数には必ず数値を渡してください。セル参照の場合は、参照先が数値であることを確認しましょう。

ATAN関数と間違えたとき

ATAN関数とATANH関数は名前が似ていますが、まったく別の関数です。

=ATAN(0.5)   → 0.46364...（逆正接。引数の制限なし）
=ATANH(0.5)  → 0.54930...（双曲線逆正接。引数は-1〜1）

ATAN関数は三角関数の逆正接で、引数に制限がありません。一方、ATANH関数は双曲線関数の逆正接で、引数が-1から1の範囲に制限されます。目的に応じて使い分けてください。

似た関数との違い・使い分け

ASINH・ACOSH・ATANHは双曲線関数の逆関数の仲間です。引数の範囲がそれぞれ違う点に注意してください。

• ASINH: 引数に制限なし（最も自由度が高い）
• ACOSH: 1以上の値のみ
• ATANH: -1から1の範囲のみ（最も制限が厳しい）

まとめ

ATANH関数は、指定した値の双曲線逆正接（逆ハイパボリックタンジェント）を返す関数です。

ポイントを整理します。

• 構文は =ATANH(値) で、引数は-1から1の範囲（両端除く）
• TANH関数の逆関数で、ATANH(TANH(x))=x が成り立つ
• 定義式は (1/2)×LN((1+x)/(1-x)) で、LN関数で検算できる
• 統計学のフィッシャー変換（=FISHER関数）と同じ計算
• -1や1を渡すと#NUM!エラーになるので注意

まずは =ATANH(0.5) で0.54930が返ることを確認してみてください。

この記事では、ExcelのATANH関数の基本的な使い方を丁寧に解説します。定義式の検算、フィッシャー変換への応用、エラー対処法までカバーしますよ。

ExcelのATANH関数とは？双曲線逆正接の基本

ATANH関数は、双曲線正接（TANH）の逆関数にあたるExcelの数学関数です。

読み方は「アーク・タンジェント・ハイパーボリック」です。日本語では「逆双曲線正接」とも呼ばれます。

ひとことで言うと、「TANHで変換された値を、元に戻す」ための関数です。TANHが「入力→出力」の変換だとすると、ATANHは「出力→入力」へ逆算する役割を担います。

対応バージョンはExcel 2007以降、Microsoft 365、Web版です。

TANH関数との逆関数の関係

ATANHを理解するには、まずTANH関数との関係を押さえておきましょう。

TANH関数は双曲線正接（ハイパーボリック・タンジェント）を返す関数です。たとえば =TANH(1) と入力すると、約0.7616が返ります。

ATANH関数はこの逆の計算をします。=ATANH(0.761594156) と入力すると、元の値「1」が返ってきますよ。

ATANH(TANH(x)) = x が成り立つ逆関数の直感

逆関数の関係をひとことで表すと、次の等式になります。

ATANH(TANH(x)) = x

つまり、TANHで変換した結果をATANHに渡すと、必ず元の値に戻ります。「行って帰ってくる」イメージですね。

この性質は、あとで紹介する検算テーブルで実際に確認できます。

ATANH関数の構文・引数

構文: =ATANH(数値)

=ATANH(数値)

引数は「数値」のひとつだけです。とてもシンプルな構文ですね。

引数は -1 より大きく 1 より小さい実数のみ

引数が -1 以下または 1 以上だと#NUM!エラーになります。-1 と 1 そのものも指定できません。

なぜこの範囲なのでしょうか。TANH関数の出力は常に -1 から 1 の間に収まります。ATANHはTANHの逆関数なので、TANHの出力範囲がそのままATANHの入力範囲になるわけです。

TANH→ATANHで逆算する基本的な使い方

ここでは、TANHの出力値をATANHで元に戻す「逆算テーブル」を作ってみましょう。

Excelで逆算テーブルを作る手順

次のようにセルを配置します。

A列に元の値を入力し、B列でTANH変換、C列でATANH逆算を行います。

代表的な値を入れた結果はこちらです。

ATANH(TANH(x))で元の値が戻ることを確認

表のC列を見ると、すべてA列の元の値と一致していますよね。

=ATANH(TANH(A2))

この数式をC列に入れるだけで、逆算が正しく機能していることを確認できます。TANHとATANHがペアの関係であることが一目でわかりますよ。

注目してほしいのは、TANHの出力が常に -1 から 1 の範囲に収まっている点です。元の値が3でも、TANHの結果は約0.995と1に近いものの1にはなりません。このおかげでATANHに渡しても#NUM!エラーは起きないわけです。

定義式 (1/2)*LN((1+x)/(1-x)) をExcelで再現して検算する

ATANH関数の数学的な定義式は次のとおりです。

ATANH(x) = (1/2) * LN((1+x)/(1-x))

この定義式をExcelのセル式で再現すると、ATANH関数の結果と一致するか検算できます。

定義式のセル式への書き換え

定義式をExcelの関数で書き換えると、次のようになります。

=0.5*LN((1+A2)/(1-A2))

LN関数は自然対数を返す関数です。

ちょっとむずかしく見えますが、やっていることはシンプルです。「1+xを1-xで割って、その自然対数を取り、2で割る」だけですよ。

ATANH関数の結果と完全一致を確認

実際にATANH関数の結果と比較してみましょう。

すべての値で完全に一致していますね。ATANH関数は内部でこの定義式と同じ計算を行っています。

定義式を知っておくと、ATANH関数が使えない古い環境でも同じ計算ができるので覚えておくと便利です。

実践活用例：フィッシャー変換で相関係数を統計処理する

ここからは少し実践的な使い方を紹介します。ATANH関数が実務で最も活躍する場面が、フィッシャー変換（Fisher’s z-transformation）です。

フィッシャー変換とは

フィッシャー変換とは、相関係数rを正規分布に近い値に変換する統計手法のことです。相関係数は -1 から 1 の範囲に制限されるため、そのまま平均を取ったり信頼区間を求めたりすると偏りが生じます。

フィッシャー変換の数式は次のとおりです。

z = ATANH(r)

実はATANH関数そのものがフィッシャー変換の計算式です。ExcelにはFISHER関数もありますが、ATANH関数と同じ結果を返します。

相関係数をフィッシャー変換するセル式

たとえば、2つのデータセットの相関係数が0.85だったとします。この値をフィッシャー変換するには、次の数式を入力します。

=ATANH(0.85)

結果: 1.256159693

変換後のz値は正規分布に従うため、標準的な統計検定が使えるようになります。

複数の相関係数の平均を求めたい場合の手順を表にまとめました。

z値の平均をTANH関数で逆変換すると、相関係数の適切な平均値が得られます。単純に相関係数を平均するよりも統計的に正確な値になりますよ。

なぜ単純平均ではだめなのか

相関係数は -1 と 1 に近づくほど分布が歪みます。たとえば0.9と0.95の差は、0.1と0.15の差よりもずっと大きな意味を持ちます。フィッシャー変換で正規分布に近づけてから平均を取ることで、この歪みを補正できるわけです。

よくあるエラーと対処法

ATANH関数で発生しやすいエラーは2種類です。

#NUM!エラー

原因: 引数に -1 以下または 1 以上の値を指定した場合に発生します。

=ATANH(1)    → #NUM!エラー
=ATANH(-1)   → #NUM!エラー
=ATANH(1.5)  → #NUM!エラー

対処法: 引数が -1 より大きく 1 より小さいことを事前にチェックしましょう。IF関数と組み合わせると安全です。

=IF(AND(A2>-1, A2<1), ATANH(A2), "範囲外の値です")

この数式なら、A2が範囲外のときはメッセージを表示してエラーを回避できますよ。

#VALUE!エラー

原因: 引数に文字列など、数値として認識できないデータを指定した場合に発生します。

=ATANH("abc")  → #VALUE!エラー

対処法: 引数のセルに数値が入っているか確認してください。ISNUMBER関数で事前チェックもできます。

ATAN関数との混同に注意

ATAN関数とATANH関数は名前が似ていますが、まったく別の関数です。

ATAN関数は逆正接（アークタンジェント）で、三角関数の仲間です。引数にすべての実数を指定でき、戻り値はラジアン（角度）です。一方、ATANH関数は双曲線関数の仲間で、引数は -1 から 1 の範囲に制限されます。

入力をまちがえて=ATAN(0.5)と書いても#NUM!エラーにはなりませんが、期待と異なる結果が返ってきます。関数名をよく確認してくださいね。

似た関数との違い・使い分け（比較表）

ATANH関数と混同しやすい関数を比較表にまとめました。

ポイントは引数の範囲の違いです。ATANHは「-1から1の間（両端含まず）」、ATANは「すべての実数」と制約が大きく異なります。

逆双曲線関数のファミリーとしては、ACOSH・ASINH・ATANH・ACOTHの4つがあります。それぞれCOSH・SINH・TANH・COTHの逆算に対応しているので、セットで覚えておくと迷いにくいですよ。

まとめ

ExcelのATANH関数について解説しました。要点を振り返りましょう。

• ATANH関数はTANH関数の逆関数で、=ATANH(数値) と書く
• 引数は -1 より大きく 1 より小さい実数のみ。範囲外だと#NUM!エラーになる
• 定義式は(1/2)*LN((1+x)/(1-x))で、Excelで再現して検算できる
• フィッシャー変換（相関係数の統計処理）に直接使える実用的な関数
• ATAN関数とは名前が似ているだけで、引数の範囲も用途もまったく異なる

双曲線関数ファミリーの他の関数もあわせてチェックすると、理解が深まりますよ。

• ACOSH関数の使い方
• ACOTH関数の使い方
• TANH関数の使い方
• LN関数の使い方

Googleスプレッドシートでも同じATANH関数が使えます。スプレッドシート版の解説はこちらの記事を参考にしてください。