スプレッドシートで複素数を扱っていると、「a+bi」から「a-bi」への変換、つまり共役複素数を作りたい場面がよくありますよね。IMREAL関数とIMAGINARY関数で実部と虚部を取り出して符号を反転させ、COMPLEX関数で組み立て直す…という手順を毎回踏むのはちょっと大変です。

そんなときに頼りになるのがGoogleスプレッドシートのIMCONJUGATE関数です。複素数を渡すだけで共役複素数を一発で返してくれるので、信号処理や電気回路解析の数式が一気にすっきりしますよ。

ExcelのIMCONJUGATE関数と完全互換なので、Excelファイルとやり取りする現場でも安心ですね。COMPLEX関数で作った複素数や、IMSUM・IMPRODUCTの演算結果からも、そのまま共役を取り出せます。

この記事では、スプレッドシートのIMCONJUGATE関数の基本構文と実務での活用例を解説します。絶対値の二乗を求めるテクニックや、よくあるエラーと対処法もしっかり紹介していきますよ。

スプレッドシートのIMCONJUGATE関数とは？

GoogleスプレッドシートのIMCONJUGATE関数（イマジナリー・コンジュゲート関数）は、複素数の共役複素数を返す関数です。エンジニアリング関数（電気・物理・工学系の計算で使う関数群）のひとつに分類されますよ。

読み方は「イマジナリー・コンジュゲート」または「アイエム・コンジュゲート」で、英語の「imaginary number（虚数）」の「conjugate（共役）」に由来します。複素数「a+bi」に対して、虚部の符号だけを反転させた「a-bi」を返してくれるのが役割ですね。

そもそも共役複素数とは、複素数の虚部の符号を反転させた数のことです。複素平面上では、元の点を実軸（横軸）に対して鏡映した位置にあたりますね。元の数を z と書くと、共役は z̄（zバー）と表記され、z = a+bi なら z̄ = a-bi となります。

IMCONJUGATE関数を使えば、この表の右側にある「共役複素数」をサクッと取り出せます。Excelとの互換性も完璧で、Excel 2007以降のすべてのバージョンに対応していますよ。

共役複素数は、複素数の絶対値の二乗（z × z̄ = |z|²）を求めたり、複素数の割り算（分母の有理化）に使ったりと、複素数演算の基礎パーツとして欠かせない存在ですね。

IMCONJUGATE関数の書き方（構文と引数）

基本構文

=IMCONJUGATE(複素数)

引数は1つだけのシンプルな関数です。

引数の詳細

引数には「”3+4i”」や「”3+4j”」のような複素数文字列を直接渡せます。COMPLEX関数（実数と虚数から複素数を作成する関数）の結果や、複素数が入ったセルの参照も指定できますよ。

虚数単位は小文字の「i」または「j」のどちらでも受け付けます。数学では「i」、電気工学では「j」が使われる慣習ですね。IMCONJUGATE関数はどちらでも同じように動作してくれます。

TIP

戻り値は元の入力と同じ虚数単位で返されます。「3+4i」を渡せば「3-4i」、「3+4j」を渡せば「3-4j」が返るので、表記の統一性も保たれますよ。

IMCONJUGATE関数の基本的な使い方

文字列で複素数を直接指定する

複素数文字列をそのまま引数に渡してみましょう。

=IMCONJUGATE("3+4i")

結果は「3-4i」になります。実部の3はそのまま、虚部の符号だけが反転していますね。

虚部がもともとマイナスの場合は、符号が反転してプラスになります。

=IMCONJUGATE("3-4i")

結果は「3+4i」です。共役を2回取ると元に戻る、という性質を確認できますね。

実数（虚部が0）を渡すと、変化なしでそのまま返ります。

=IMCONJUGATE("5")
=IMCONJUGATE("5+0i")

どちらも結果は「5」です。実数は虚部が0なので、符号を反転しても変わらないんですね。

セル参照で複素数を指定する

実務ではセルに入った複素数を扱う場面が多いですよね。A2に「1+1i」が入っている場合は次のように書きます。

=IMCONJUGATE(A2)

結果は「1-1i」になります。セル参照を渡すだけで、入っている複素数の共役を取り出せますよ。

COMPLEX関数と組み合わせる

COMPLEX関数で作った複素数の共役を、その場で取り出すこともできます。

=IMCONJUGATE(COMPLEX(2, 3))

結果は「2-3i」、つまり実部2・虚部-3の複素数ですね。COMPLEX(2, 3)が内部で「2+3i」を作り、IMCONJUGATE関数がその共役を返してくれます。

複素数の作成と共役計算を一気にやりたいときに便利な書き方ですよ。

純虚数の共役

純虚数（実部が0で虚部だけある複素数）を渡すと、虚部の符号だけが反転します。

=IMCONJUGATE("3i")

結果は「-3i」です。虚軸上の点が、原点を挟んだ反対側に移動するイメージですね。電気工学のリアクタンス（虚部のみのインピーダンス）を扱うときに登場するパターンです。

ARRAYFORMULAで複数行を一括処理する

複素数のリストから一気に共役の列を作りたい場面もありますよね。そんなときはARRAYFORMULA関数（数式を範囲全体に展開する関数）と組み合わせます。

=ARRAYFORMULA(IMCONJUGATE(A2:A10))

A列に並んだ複素数から、対応する共役複素数をB列に一発で展開できますよ。共役のリストを作るときに重宝しますね。

IMCONJUGATE関数の実務活用例

活用例1: 絶対値の二乗（|z|²）を求める

複素数の絶対値の二乗は「z × z̄ = a² + b²」という性質があります。IMPRODUCT関数（複素数の掛け算）とIMCONJUGATE関数を組み合わせれば、シンプルに計算できますよ。

セルA2に「3+4i」が入っているとしましょう。

=IMREAL(IMPRODUCT(A2, IMCONJUGATE(A2)))

結果は「25」です。3² + 4² = 9 + 16 = 25 という計算ですね。z × z̄ は実数になるので、IMREAL関数（複素数の実数部を返す関数）で実部を取り出して数値として扱います。

IMABS関数で =IMABS(A2)^2 と書く方法もありますが、共役を使った形は数学的な定義そのままなので、計算プロセスを示したい資料では好まれますよ。

活用例2: 信号処理でのパワースペクトル

信号処理のフーリエ変換（信号を周波数成分に分解する手法）では、各周波数成分が複素数で出力されます。パワースペクトル（周波数ごとのエネルギー強度）は「X × X̄」つまり複素数とその共役の積で求められますね。

A列にフーリエ変換結果の複素数が並んでいるとします。

B2: =IMCONJUGATE(A2)                       ← 共役
C2: =IMREAL(IMPRODUCT(A2, B2))             ← パワー（|X|²）

各周波数のパワーを取り出せれば、ノイズ解析や音声・画像処理の前処理に活用できますよ。数値計算ソフトで出した複素スペクトルをスプレッドシートに貼り付けて分析するときの定番パターンですね。

活用例3: 複素数の割り算（分母の有理化）

複素数の割り算は、分子と分母の両方に分母の共役を掛けて分母を実数化する、というのが定番手法です。IMDIV関数を使えば一発ですが、内部で行われている計算を可視化したいときにIMCONJUGATEが活躍しますよ。

たとえば「(1+2i) ÷ (3+4i)」を共役を使って計算する流れはこうなります。

A2: 1+2i           ← 分子
B2: 3+4i           ← 分母
C2: =IMCONJUGATE(B2)                                    ← 分母の共役 → 3-4i
D2: =IMPRODUCT(A2, C2)                                  ← 分子に掛ける → 11+2i
E2: =IMREAL(IMPRODUCT(B2, C2))                          ← 分母×共役 → 25（実数化）
F2: =COMPLEX(IMREAL(D2)/E2, IMAGINARY(D2)/E2)           ← 最終結果 → 0.44+0.08i

最終結果はIMDIVで =IMDIV(A2, B2) と書いた場合と一致しますよ。複素数の割り算を学ぶ場面や、計算過程を見せたいレポートで便利なパターンですね。

活用例4: 電気回路の電力計算（皮相電力）

交流回路の皮相電力は「S = V × Ī」という式で求められます。電圧Vと電流Iの共役の積を取ると、有効電力（実部）と無効電力（虚部）に分解できる便利な性質ですよ。

セルA2に電圧「100+0i」、B2に電流「8+6i」が入っているとしましょう。

=IMPRODUCT(A2, IMCONJUGATE(B2))

結果は「800-600i」になります。実部の800が有効電力（W）、虚部の-600が無効電力（var）ですね。電力会社や工場の電気設備を扱う現場で登場する基本式です。

各成分を取り出すならこう書けます。

有効電力: =IMREAL(IMPRODUCT(A2, IMCONJUGATE(B2)))
無効電力: =IMAGINARY(IMPRODUCT(A2, IMCONJUGATE(B2)))
皮相電力: =IMABS(IMPRODUCT(A2, IMCONJUGATE(B2)))

皮相電力の大きさ、有効電力、無効電力を一気に把握できますよ。電力分析シートを作るときの定番セットですね。

活用例5: 二次方程式の複素解の対応関係チェック

実数係数の二次方程式が複素解を持つ場合、2つの解は必ず共役の関係になります。スプレッドシートで解を求めた後、共役の関係になっているか確認したいときに使えますね。

A2に1つ目の解「2+3i」、B2に2つ目の解「2-3i」が入っているとします。

=IF(IMCONJUGATE(A2)=B2, "共役の関係です", "共役ではありません")

数式処理ソフトで求めた解をスプレッドシートに貼り付けて、自動チェックする使い方ができますよ。教育用の教材や、検算シートを作るときに重宝しますね。

IMCONJUGATE関数とCOMPLEX関数群の関係

複素数を扱う関数群の中で、IMCONJUGATE関数の位置づけを整理しておきましょう。

IMREALやIMABSが「複素数から実数を取り出す」のに対して、IMCONJUGATE関数は「複素数から複素数を作る」役割です。出力もそのまま複素数なので、IMSUMやIMPRODUCTにそのまま渡してさらに計算を続けられますよ。

たとえばIMREALとIMAGINARYで分解してCOMPLEXで組み直す書き方をすると次のようになります。

=COMPLEX(IMREAL(A2), -IMAGINARY(A2))

これはIMCONJUGATEと同じ結果になりますが、3つの関数を組み合わせる必要がありますよね。IMCONJUGATEを使えば1関数で済むので、数式が読みやすくなります。

IMCONJUGATE関数のよくあるエラーと対処法

#NUM! エラー（複素数の形式エラー）

複素数として認識できない文字列を渡したときに発生します。虚数単位が大文字になっていたり、i・j以外の文字を使っている場合が典型例ですよ。

=IMCONJUGATE("3+4I")   → #NUM!（大文字のIは不可）
=IMCONJUGATE("3+4k")   → #NUM!（i・j以外は不可）
=IMCONJUGATE("３+４i") → #NUM!（全角文字は不可）

対処法は、複素数文字列を必ず半角の「a+bi」または「a+bj」の形式にすることです。虚数単位は小文字限定なので、CapsLockがオンになっていないか確認してくださいね。

スペースが入っている場合（例: "3 + 4i"）も認識できないことがあるので、余計な空白を除いておくと安心です。

#VALUE! エラー（引数の型エラー）

引数に論理値やエラー値を渡したときに発生します。

=IMCONJUGATE(TRUE)    → #VALUE!（論理値は不可）
=IMCONJUGATE(#N/A)    → #VALUE!（エラー値は不可）

対処法は、正しい複素数文字列または数値・セル参照を渡すことです。入力元のセルがエラーになっている場合は、そのエラーを先に解消する必要がありますよ。

数値そのものを渡した場合

数値（虚部0の実数）を渡すと、共役は同じ実数なのでそのまま返ります。

=IMCONJUGATE(5)    → "5"
=IMCONJUGATE(0)    → "0"

エラーにはなりませんが、戻り値は文字列として扱われる点に注意してくださいね。後続の数値計算で使う場合は、IMREAL関数を被せて数値に戻す必要があるかもしれません。

IFERRORでまとめてエラーを吸収する

入力データの信頼性が低い場合は、IFERROR関数（エラー時に代替値を返す関数）で包んでおくとシート全体の集計が止まりません。

=IFERROR(IMCONJUGATE(A2), "形式エラー")

エラー時にメッセージを返すようにしておけば、安心して大量データに適用できますよ。

IMCONJUGATE関数とExcelの互換性

GoogleスプレッドシートのIMCONJUGATE関数は、ExcelのIMCONJUGATE関数と仕様が完全に一致しています。構文・引数・戻り値の形式・エラー条件まで同じですよ。

ExcelファイルをGoogleスプレッドシートで開いてもIMCONJUGATE関数はそのまま動作します。逆にスプレッドシートで作った数式をExcelで開いても問題ありませんね。

ExcelのIMCONJUGATE関数は、Excel 2007以降のすべてのバージョンで利用できます。Microsoft 365、Excel for Mac、Excel Online でも同じように使えますよ。プラットフォーム間で挙動が同じだと、ファイル共有のときにも安心です。

複素数関連の関数一覧

IMCONJUGATE関数と一緒に使うことが多い、複素数関連の関数をまとめました。

IMCONJUGATE関数は、これら複素数関数群の中で「共役を作る」役割を担います。COMPLEXで作り、IMCONJUGATEで共役を取り、IMPRODUCTと組み合わせて絶対値の二乗やパワーを計算するのが基本パターンですね。

まとめ

GoogleスプレッドシートのIMCONJUGATE関数は、複素数の共役複素数を返す関数です。信号処理のパワースペクトル計算や、電気回路の電力解析、複素数の割り算など、複素数演算の基礎パーツとして欠かせない関数ですよ。

• 構文は =IMCONJUGATE(複素数) で引数は1つだけのシンプルな関数
• 「a+bi」を渡すと「a-bi」が返る（虚部の符号が反転する）
• 「a+bj」のような工学系表記もそのまま受け付ける
• 共役を2回取ると元の複素数に戻る
• 実数（虚部0）を渡すと変化なしで同じ値が返る
• COMPLEX関数の結果やセル参照、複素数演算の結果から共役を取り出せる
• IMPRODUCTと組み合わせると絶対値の二乗（|z|² = z × z̄）が求まる
• 信号処理のパワースペクトル（X × X̄）を計算できる
• 電気回路の皮相電力（V × Ī）の計算でも活躍する
• ARRAYFORMULAで複数の複素数を一括処理できる
• 大文字の「I」「J」や全角文字、i・j以外の単位は #NUM! エラー
• 論理値やエラー値を渡すと #VALUE! エラー
• ExcelのIMCONJUGATE関数と完全互換（Excel 2007以降）

複素数の共役が必要になったら、IMCONJUGATE関数の出番ですよ。COMPLEX関数で複素数を作り、IMCONJUGATEで共役を取り、IMPRODUCTで絶対値の二乗やパワーを計算する流れで、エンジニアリング系のシートを軽快に組み立ててみてくださいね。

そんなときに使えるのが IMCONJUGATE関数 です。複素数を渡すだけで、共役複素数をサッと返してくれますよ。この記事では、構文や引数の指定方法から、複素インピーダンスや信号処理、複素数の割り算といった実践的な活用例、エラーの対処法まで、実務でそのまま使える形で丁寧に解説していきます。

ExcelのIMCONJUGATE関数とは？

IMCONJUGATE関数は、指定した複素数の 共役複素数（きょうやくふくそすう）を返すExcelのエンジニアリング関数です。

読み方は 「イマジナリー・コンジュゲイト」 です。「Imaginary（虚数の）」と「Conjugate（共役の）」を組み合わせた名前ですね。Excel 2007以降のすべてのバージョンで利用できます。

共役複素数とは？

共役複素数とは、元の複素数の 虚部の符号だけを反転 させたものです。たとえば、元の複素数が「3+4i」なら、共役複素数は「3-4i」になります。

実部はそのまま、虚部の「+」と「-」がひっくり返るイメージです。実部しかない（虚部がゼロの）複素数は、共役をとっても値が変わりません。

共役複素数の数学的な意味

共役複素数には、知っておくと応用が効く大事な性質が3つあります。

1. 複素平面上では実軸対称

複素数を複素平面（横軸=実部、縦軸=虚部）にプロットすると、元の複素数と共役複素数は 実軸（横軸）に対して対称 の位置になります。鏡写しの関係ですね。

2. 絶対値は元と同じ

虚部の符号が変わるだけなので、原点からの距離（絶対値）は元の複素数とまったく同じ です。3+4i も 3-4i も、絶対値は √(3² + 4²) = 5 になります。

3. 元の数と掛け算すると実数になる

複素数 z とその共役 z̄ を掛けると、結果は必ず実数（= 絶対値の2乗）になります。これは電気工学や信号処理で頻繁に使う、とても重要な性質です。

(a+bi) × (a-bi) = a² + b²

虚部が打ち消し合って消えるのがポイントですよ。

IMCONJUGATE関数の書き方（構文と引数）

基本構文

=IMCONJUGATE(複素数)

引数は1つだけなので、とてもシンプルです。

引数の説明

引数にはセル参照も使えます。COMPLEX関数で作成した複素数を、そのまま渡すのが実務では便利ですよ。

入力と出力のイメージ

• 入力: 複素数（例: “3+4i”）
• 出力: 共役複素数（例: “3-4i”）

虚部がゼロの場合（実数のみの場合）は、そのまま同じ値が返ります。たとえば「5」を渡すと、結果も「5」です。

IMCONJUGATE関数の基本的な使い方

実際にIMCONJUGATE関数を使ってみましょう。

例1: セルの複素数から共役複素数を求める

セルA1に「3+4i」が入っているとします。

=IMCONJUGATE(A1)

結果: 3-4i

虚部の「+4i」が「-4i」に変わっただけですね。実部の3はそのままです。

例2: 関数内に直接値を指定する

セル参照を使わず、直接テキストで複素数を指定することもできます。

=IMCONJUGATE("-2+5i")

結果: -2-5i

直接指定するときは、ダブルクォーテーション（”）で囲むのを忘れないでくださいね。

例3: COMPLEX関数と組み合わせる

実部と虚部を別々のセルで管理している場合は、COMPLEX関数と組み合わせると便利です。

セルA1に「3」、B1に「4」が入っているとき:

=IMCONJUGATE(COMPLEX(A1, B1))

結果: 3-4i

COMPLEX関数が「3+4i」を作り、それをIMCONJUGATEが「3-4i」に変換する流れです。実部と虚部を個別に管理するデータ設計では、この組み合わせが基本形になりますよ。

IMCONJUGATE関数の実践的な活用例

ここからは、IMCONJUGATE関数が実務でどう役に立つのかを、具体的なシーンで見ていきましょう。

活用例1: 複素数の絶対値の2乗を求める

複素数にその共役複素数を掛けると、絶対値の2乗（実数）が得られます。これは電気工学のパワー計算などでよく使うテクニックです。

セルA1に「3+4i」が入っているとき:

=IMPRODUCT(A1, IMCONJUGATE(A1))

結果: 25（= 3² + 4²）

IMPRODUCT関数で複素数同士の掛け算ができます。結果が実数になるのがポイントですよ。ちなみに、同じ値はIMABS関数で絶対値を求めてから2乗しても得られます。

活用例2: 複素数の割り算をIMDIVと組み合わせて実行

複素数の割り算は、分母の共役を使って分母を実数化する のが定石です。ExcelにはそもそもIMDIV関数があるので直接割り算できますが、共役複素数を使った計算過程を可視化したいときに役立ちます。

たとえば (1+2i) ÷ (3+4i) を計算したいとき。

[直接計算]
=IMDIV("1+2i", "3+4i")
→ 結果: 0.44+0.08i

[共役を使って手順を追う]
分子 = IMPRODUCT("1+2i", IMCONJUGATE("3+4i"))  → 11+2i
分母 = IMPRODUCT("3+4i", IMCONJUGATE("3+4i"))  → 25
結果 = 分子 ÷ 分母 = 0.44+0.08i

分母に共役をかけることで、分母が実数（25）になり、あとは実部・虚部をそれぞれ割るだけになるんですね。検算や教育用途でとても使えるパターンです。

活用例3: 電気回路の複素インピーダンス計算

交流回路のインピーダンスは、抵抗（実部）とリアクタンス（虚部）を合わせた複素数で表現されます。このとき、消費電力の計算 や 整合インピーダンス の検討で共役複素数が登場します。

たとえば、インピーダンス Z = 4+3i [Ω] の回路に、電流 I = 2+1i [A] が流れているときの複素電力 S は:

S = V × I* = (Z × I) × IMCONJUGATE(I)

Excel上では、

=IMPRODUCT(IMPRODUCT("4+3i","2+1i"), IMCONJUGATE("2+1i"))

のように、電流側の共役 を使って複素電力を求めます。実部が有効電力、虚部が無効電力を表します。手計算だと符号ミスしやすい場面で、IMCONJUGATEが活躍しますよ。

活用例4: 信号処理での応用（FFT結果の扱い）

FFT（高速フーリエ変換）の結果は複素数の配列として出てきます。このとき、パワースペクトル を求めるには各周波数成分 X(k) について |X(k)|² = X(k) × IMCONJUGATE(X(k)) を計算します。

ExcelでFFTの結果列（A列）からパワースペクトル列（B列）を作る例:

B1: =IMREAL(IMPRODUCT(A1, IMCONJUGATE(A1)))

IMREAL関数で実部だけを取り出すのは、計算誤差で虚部にごく小さい値が残ることがあるためです。理論上はゼロになる値を、確実に実数として扱えますよ。

活用例5: 複数の複素数を一括で変換する

複素数がA1:A5に並んでいる場合、B1に次の数式を入力してB5までコピーすれば、まとめて共役複素数を求められます。

=IMCONJUGATE(A1)

5行目のように虚部がゼロの実数は、共役をとっても変わらない点に注目してくださいね。

よくあるエラーと対処法

#NUM! エラー

引数に有効な複素数として認識できない値を渡すと、#NUM! エラーが表示されます。

よくある原因と対処法:

「i」や「j」を付け忘れるケースが一番多いので、気を付けてくださいね。

#VALUE! エラー

引数が数値でもテキストでもない場合（論理値や空のセルなど）に、#VALUE! エラーが発生します。

=IMCONJUGATE(TRUE)   → #VALUE!エラー
=IMCONJUGATE("")     → #VALUE!エラー

セル参照を使う場合は、参照先に正しい複素数テキストが入っているか確認してみてください。空白セルを参照してエラーになるときは、IFERRORで包んでおくと表が見やすくなりますよ。

=IFERROR(IMCONJUGATE(A1),"")

結果が意図した形式にならないとき

IMCONJUGATEは入力と同じ虚数単位（i か j）を維持して返します。プロジェクトで表記を統一したい場合は、最初に入力する段階で "i" か "j" のどちらかに揃えておくのがおすすめです。途中で混ぜると、下流の関数でエラーの温床になりがちですよ。

似た関数との違い・使い分け

IMCONJUGATE関数と一緒に使うことが多い関連関数を整理しておきましょう。

共役複素数を求めたあとにIMREAL関数やIMAGINARY関数で実部・虚部を取り出す、というパターンもよく使いますよ。

まとめ

IMCONJUGATE関数は、複素数の共役複素数を返すExcelのエンジニアリング関数です。

この記事のポイントをおさらいしましょう。

• 共役複素数は虚部の符号を反転させたもの（a+bi → a-bi）
• 複素平面上では実軸対称、絶対値は元の複素数と同じ
• 元の複素数と共役を掛けると実数（絶対値の2乗）になる
• 引数は1つだけ。”x+yi” 形式のテキストで複素数を渡す
• COMPLEX・IMPRODUCT・IMDIV関数と組み合わせて使うのが実践的
• 複素インピーダンス・信号処理・複素数の割り算で活躍する
• エラーが出たら、虚数単位（i / j）の付け忘れやスペース混入、全角混在をチェック

複素数の計算をExcelで効率的に進めたい方は、ぜひ活用してみてくださいね。