スプレッドシートで「双曲線余接（ハイパボリックコタンジェント）」を計算したいとき、どの関数を使えばいいか迷っていませんか？
双曲線関数の中でもコタンジェント系はなじみが薄くて、書き方がわからないですよね。
そんなときに使うのがCOTH関数です。=COTH(値) と書くだけで、双曲線余接をかんたんに求められます。数学的にはTANH関数の逆数にあたる関数ですよ。
この記事では基本の書き方から、TANH関数との関係、COT関数との違い、引数0でエラーになる注意点まで紹介します。
スプレッドシートのCOTH関数とは？
COTH関数（読み方: ハイパボリックコタンジェント関数）は、指定した値の双曲線余接を返す関数です。名前は英語の「Hyperbolic Cotangent」の略に由来します。
たとえば =COTH(1) と入力すると「1.31303…」が返ります。これが1の双曲線余接の値です。
COTH関数の特徴は、TANH関数の逆数であることです。TANH(x)の結果が-1から1の範囲に収まるのに対して、COTH(x)の結果は1より大きいか-1より小さい値になります。
COTH関数にできることをまとめると、次のとおりです。
NOTE
COTH関数はGoogleスプレッドシートの全バージョンで使えます。Excelとも完全に互換性があるので、ファイルのやり取りでも安心です。
COTH関数の書き方（構文と引数）
基本構文
=COTH(値)カッコの中に、双曲線余接を求めたい数値を指定します。
引数の説明
| 引数 | 必須/任意 | 説明 |
|---|---|---|
| 値 | 必須 | 双曲線余接を求めたい実数値（0以外） |
引数は1つだけです。COT関数とは違い、ラジアンへの変換は不要です。そのまま数値を渡せばOKですよ。
ただし 引数に0は指定できません。COTH(0)は数学的に定義されないため、エラーになります。
TIP
COT関数は引数に「角度（ラジアン）」を取りますが、COTH関数は「任意の実数値（0以外）」を取ります。RADIANS関数での変換は必要ありません。
COTH関数の基本的な使い方
代表的な値でCOTH関数の動きを確認してみましょう。
正の値を渡す
=COTH(1)結果は「1.31303…」です。
もう少し大きい値も見てみます。
=COTH(2)結果は「1.03731…」です。値が大きくなるにつれて1に近づいていくのがポイントですね。
負の値を渡す
=COTH(-1)結果は「-1.31303…」です。COTH(1)の符号を反転した値になっています。
これはCOTH関数が「奇関数」だからです。COTH(-x) = -COTH(x) が常に成り立ちます。
0を渡すとエラーになる
=COTH(0)この数式は #DIV/0! エラーになります。COTH = COSH/SINH で、SINH(0) = 0 なので「0で割る」ことになるためです。
これはCOTH関数で一番注意が必要なポイントですよ。
まとめると
代表的な入力値と結果を一覧にまとめます。
| 数式 | 結果 | 備考 |
|---|---|---|
| =COTH(0) | #DIV/0! | 0は定義されない |
| =COTH(0.5) | 2.16395… | 1からかなり離れた値 |
| =COTH(1) | 1.31303… | 基本値 |
| =COTH(2) | 1.03731… | 1に近づく |
| =COTH(5) | 1.00001… | ほぼ1 |
| =COTH(-1) | -1.31303… | 奇関数（符号反転） |
| =COTH(-2) | -1.03731… | -1に近づく |
値が大きくなると1に、小さくなると-1に近づきます。ただし、1や-1にはなりません。
セル参照を使う
もちろんセル参照も使えます。A1セルに数値が入っていれば、次のように書きます。
=COTH(A1)A列に複数の値を入れて、B列にCOTH関数を並べれば一括計算もできますよ。
COTH関数の数学的な仕組み
定義式とSINH・COSH関数での検算
COTH関数は数学的に次のように定義されています。
COTH(x) = COSH(x) / SINH(x)つまり、COSH関数（双曲線余弦）をSINH関数（双曲線正弦）で割った値です。スプレッドシートでは次のように検算できます。
=COSH(A1)/SINH(A1)この式とCOTH(A1)は同じ結果を返します。実際にA1に「1」を入れて確認してみましょう。
| 数式 | 結果 |
|---|---|
| =COTH(1) | 1.31303… |
| =COSH(1)/SINH(1) | 1.31303… |
どちらも同じ値ですね。
TANH関数との逆数関係
COTH関数はTANH関数の逆数でもあります。
COTH(x) = 1 / TANH(x)スプレッドシートで確認してみましょう。
| 数式 | 結果 |
|---|---|
| =COTH(1) | 1.31303… |
| =1/TANH(1) | 1.31303… |
どちらも同じ値です。COTH関数がないバージョンでも =1/TANH() で代用できますよ。
EXP関数を使った定義式
COTH関数はEXP関数でも表現できます。
COTH(x) = (e^x + e^(-x)) / (e^x - e^(-x))スプレッドシートの式にすると、次のとおりです。
=(EXP(A1)+EXP(-A1))/(EXP(A1)-EXP(-A1))この式がCOTH(A1)と同じ結果になることも確認できます。COTH関数の結果が正しいか不安なときは、EXP関数を使った式で検算してみてください。
TIP
EXP関数はネイピア数eのべき乗を返す関数です。詳しくはEXP関数の記事をご覧ください。
COT関数との違い
名前は似ていますが、COT関数とCOTH関数はまったく別の関数です。
| 項目 | COT関数 | COTH関数 |
|---|---|---|
| 正式名称 | 余接（コタンジェント） | 双曲線余接（ハイパボリックコタンジェント） |
| 数学的な背景 | 円（三角関数） | 双曲線（双曲線関数） |
| 引数 | 角度（ラジアン） | 任意の実数値（0以外） |
| 値の範囲 | 制限なし（-無限大 から +無限大） | 1より大きい、または-1より小さい |
| RADIANS変換 | 必要 | 不要 |
| 周期性 | あり（πごとに繰り返す） | なし |
| 逆数の関係 | 1/TAN(x) | 1/TANH(x) |
一番大きな違いは「数学的な背景」です。COT関数は三角関数で円に基づく計算をしますが、COTH関数は双曲線関数で双曲線に基づく計算をします。
もうひとつの違いは「引数」です。COT関数はラジアン単位の角度を受け取るのでRADIANS関数での変換が必要ですが、COTH関数はそのまま数値を渡せます。
詳しくはCOT関数の記事も参考にしてみてください。
よくあるエラーと対処法
COTH関数でよくあるトラブルをまとめます。
| 症状 | 原因 | 対処法 |
|---|---|---|
| #DIV/0! エラー | 引数に0を渡した | 0以外の値を指定する。IF関数で0を除外する |
| #VALUE! エラー | 引数に文字列を渡した | 数値またはセル参照を指定する |
| COT関数と結果が違う | 関数を間違えている | COTは三角関数、COTHは双曲線関数。目的に合った方を使う |
| 結果が1に近すぎる | 入力値が大きすぎる | COTH関数は値が大きくなると1に近づく性質がある |
引数に0を渡したとき
=COTH(0)結果は #DIV/0! エラーです。COTH(0)は数学的に定義されないため、このエラーは正しい動作です。
セルの値が0になる可能性がある場合は、IF関数で事前にチェックしましょう。
=IF(A1=0, "定義なし", COTH(A1))この式なら、A1が0のときはエラーにならず「定義なし」と表示されます。
文字列を渡したとき
=COTH("abc")結果は #VALUE! エラーです。引数には必ず数値を渡してください。セル参照の場合は、参照先が数値であることを確認しましょう。
結果が1に近すぎるとき
=COTH(10)結果は「1.00000…」で、ほぼ1です。COTH関数は入力が大きくなると急速に1に近づくため、差が見えにくくなることがあります。
この性質はCOTH関数の正常な動作です。細かい差が必要な場合は、入力値の範囲を小さくするか、別の関数を検討してみてください。
似た関数との違い・使い分け
| 関数 | 動作 | 引数 | 用途 |
|---|---|---|---|
| COTH | 双曲線余接を返す | 実数値（0以外） | TANH関数の逆数計算 |
| TANH | 双曲線正接を返す | 実数値 | 正規化・スコアリング |
| SINH | 双曲線正弦を返す | 実数値 | カテナリー曲線・物理計算 |
| COSH | 双曲線余弦を返す | 実数値 | カテナリー曲線のy座標 |
| COT | 余接（コタンジェント）を返す | 角度（ラジアン） | 三角関数・水平距離の計算 |
| EXP | eのべき乗を返す | 指数 | 指数関数・成長率計算 |
SINH・COSH・TANH・COTHは双曲線関数の仲間です。三角関数のSIN・COS・TAN・COTに対応する関係ですね。
双曲線関数の間には次の関係が成り立ちます。
COTH(x) = COSH(x) / SINH(x) = 1 / TANH(x)
COSH(x)^2 - SINH(x)^2 = 1三角関数では COT = COS/SIN = 1/TAN ですが、双曲線関数でも COTH = COSH/SINH = 1/TANH と同じ構造になっています。
まとめ
COTH関数は、指定した値の双曲線余接（ハイパボリックコタンジェント）を返す関数です。
ポイントを整理します。
- 構文は
=COTH(値)で、引数は0以外の実数値 - COT関数と違い、ラジアン変換は不要
- COTH(1)=1.31303 が代表的な値
- 定義式は COSH(x)/SINH(x) で、TANH関数の逆数
- 引数に0を渡すと #DIV/0! エラーになるので注意
- 値が大きくなると1に、小さくなると-1に近づく
まずは =COTH(1) で1.31303が返ることを確認してみてください。
