スプレッドシートのIMCONJUGATE関数｜共役複素数の求め方と使い道3つ

複素数の計算をスプレッドシートで検算していて、「3+4i の共役ってどう出すんだっけ」と手が止まったことはありませんか。

やることは虚部の符号の反転だけ。それでも IMREAL と IMAGINARY で分解して COMPLEX で組み直すと、式が長くなりがちです。しかも IM 系関数の結果は文字列なので、うっかり足し算すると #VALUE! が出てきます。

Googleスプレッドシートなら、IMCONJUGATE関数ひとつで共役複素数が求まります。この記事では基本の使い方に加えて、共役が役立つ3つの場面を検算表つきで紹介します。絶対値の二乗、割り算の分母の実数化、交流回路の電力計算の3つ。

スプレッドシートのIMCONJUGATE関数とは？共役複素数を一発で返す関数
1. 結論：=IMCONJUGATE(“3+4i”) は 3-4i を返す
2. 構文と引数（戻り値は文字列）
IMCONJUGATE関数の基本的な使い方
共役複素数が役立つ3つの場面
IMCONJUGATE関数のエラーと思った結果にならないときの対処法
1. 症状→原因→直し方の早見表
2. IFERRORでエラーを吸収する
IMCONJUGATEと組み合わせる複素数関数とExcel版との違い
1. 組み合わせて使うIM系関数
2. Excelで使う場合
まとめ

スプレッドシートのIMCONJUGATE関数とは？共役複素数を一発で返す関数

GoogleスプレッドシートのIMCONJUGATE関数は、複素数の共役複素数を返す関数です。読み方は「イマジナリー・コンジュゲート」で、imaginary（虚数）と conjugate（共役）を組み合わせた名前。電気・物理・工学系の計算で使う「エンジニアリング関数」のひとつに分類されています。

結論：=IMCONJUGATE(“3+4i”) は 3-4i を返す

=IMCONJUGATE("3+4i")

結果は「3-4i」です。実部の3はそのままで、虚部の符号だけが反転します。

共役複素数とは、複素数 a+bi の虚部の符号を反転させた a-bi のこと。元の数を z と書くと、共役は z̄（ゼットバー）と表します。複素平面で見ると、実軸をはさんで線対称の位置にある点です。

複素数 z	共役 z̄	変わったところ
3+4i	3-4i	虚部 +4 → -4
3-4i	3+4i	虚部 -4 → +4
-2+5i	-2-5i	虚部 +5 → -5
-1-2i	-1+2i	虚部 -2 → +2

1行目と2行目を見比べると分かるとおり、共役の共役は元の数に戻ります。実部の符号はどの行でも変わっていませんよね。

構文と引数（戻り値は文字列）

=IMCONJUGATE(複素数)

引数	必須	内容
複素数	必須	共役を求めたい複素数。”3+4i” のような文字列、セル参照、COMPLEX関数の結果などを指定する

引数は1つだけ。虚数単位は小文字の i か j を使います。数学では i、電気工学では j を使う慣習があるので、どちらでも書けるのは便利ですね。

ひとつ覚えておきたいのは、戻り値が数値ではなく文字列だという点です。見た目は「3-4i」でも、セルの中身はテキスト扱い。そのまま + や ABS で計算するとエラーになります。数値が欲しいときは IMREAL や IMABS を通しましょう（詳しくはエラーの章で解説）。

IMCONJUGATE関数の基本的な使い方

ここからは、引数の渡し方ごとに書き方を見ていきます。どの書き方でも、結果が文字列で返ってくる点は共通です。

文字列で直接指定する

いちばん手軽なのが、複素数をダブルクォーテーションで囲んで直接書く方法です。

=IMCONJUGATE("3-4i")

結果は「3+4i」。もともと虚部がマイナスなら、反転してプラスになります。

なお「3 + 4i」のように半角の空白が入っていても、空白なしと同じ値として計算されます。ただし全角の空白はエラーになるので、後半の早見表で確認してください。

セル参照で指定する

実際のシートでは、複素数がセルに入っていることが多いはず。A2 に「3+4i」が入っているなら、次のように書きます。

=IMCONJUGATE(A2)

B2 に入れると「3-4i」が表示されます。下の行へコピーすれば、A列の複素数を1つずつ共役に変換できますよ。

COMPLEX関数で作った複素数を渡す

実部と虚部が別々のセルに入っているなら、COMPLEX関数で複素数にしてから渡せます。

=IMCONJUGATE(COMPLEX(2, 3))

COMPLEX(2, 3) が「2+3i」を作り、IMCONJUGATE がその共役「2-3i」を返す流れです。A列に実部、B列に虚部があるなら、次の1行で済みます。

=IMCONJUGATE(COMPLEX(A2, B2))

実数・純虚数・j表記を渡したときの結果（早見表）

虚部が0の実数や、実部が0の純虚数も渡せます。それぞれの共役を数学的な値で整理すると次のとおり。

入力	共役（数学的な値）	ポイント
“3+4i”	3-4i	基本形。虚部の符号だけ反転
“3-4i”	3+4i	2回取ると元に戻る
“5”	5	実数は虚部が0なので変わらない
“2i”	-2i	純虚数は符号ごと反転
COMPLEX(-2,-5,”j”)	-2+5j	COMPLEX 単体の値は -2-5j

最後の行は取り違えやすいので注意しましょう。COMPLEX(-2,-5,”j”) が作るのは -2-5j で、IMCONJUGATE を通すと -2+5j になります。

表の値は手計算による数学的な共役です。実数が「5」と「5+0i」のどちらで表示されるか、j が j のまま返るか。こうした表記の細部は、実際にセルへ入れて確かめてから使うと安心ですよ。

ARRAYFORMULAで列をまとめて変換する

行数が多いときは、ARRAYFORMULA関数（数式を範囲全体に展開する関数）でまとめて変換できます。

=ARRAYFORMULA(IMCONJUGATE(A2:A10))

B2 に1つ入れるだけで、A2:A10 の共役が B列に展開されます。データが増えたら、範囲の終わりを広げるだけで対応できるのも楽なところ。

共役複素数が役立つ3つの場面

共役を求めること自体より、「共役を使って何を計算するか」のほうが実務では大事です。ここでは IMPRODUCT や IMDIV と組み合わせる代表的な3つの場面を、検算表つきで紹介します。

表の数値はすべて手計算の値です。自分のシートの結果と見比べながら読んでみてください。

z×z̄で絶対値の二乗を求める（IMABSとの検算）

複素数に自分の共役を掛けると、虚部が消えて実数だけが残ります。

z × z̄ = (a+bi)(a-bi) = a² + b² = |z|²

z = 3+4i なら、(3+4i)(3-4i) = 9 + 16 = 25 です。スプレッドシートでは、IMPRODUCT関数（複素数の掛け算）と組み合わせて計算します。

A2: 3+4i
B2: =IMCONJUGATE(A2)       ← 共役
C2: =IMPRODUCT(A2, B2)     ← z × z̄（文字列）
D2: =IMREAL(C2)            ← 数値に変換
E2: =IMABS(A2)^2           ← 検算用

セル	式	手計算の値	型
B2	=IMCONJUGATE(A2)	3-4i	文字列
C2	=IMPRODUCT(A2, B2)	25（虚部は0）	文字列
D2	=IMREAL(C2)	25	数値
E2	=IMABS(A2)^2	5² = 25	数値

ポイントは、C2 の段階ではまだ文字列だということ。虚部が0でも、そのまま足し算には使えません。IMREAL関数で実部を取り出すと、普通の数値として扱えるようになります。

D2 と E2 が一致すれば検算は成功です。IMABS関数は絶対値 |z| を返すので、2乗すれば同じ値になるはず。

z = 1+2i のように絶対値が無理数になる例では、末尾にごく小さな誤差が出ることがあります。比べるときは =ROUND(D2-E2, 10)=0 のように丸めて判定すると安心です。

複素数の割り算で分母を実数にする（IMDIVとの一致を確認）

複素数の割り算では、分子と分母に「分母の共役」を掛けて分母を実数にするのが定番です。

(1+2i) ÷ (3+4i)
= (1+2i)(3-4i) ÷ (3+4i)(3-4i)
= (11+2i) ÷ 25

IMDIV関数なら1つの式で済みますが、数学的にはこの計算と同じ答えになります。共役を使って手順を分けると、途中の値を1つずつ確かめられます。

A2: 1+2i                                        ← 分子
B2: 3+4i                                        ← 分母
C2: =IMCONJUGATE(B2)                            ← 分母の共役
D2: =IMPRODUCT(A2, C2)                          ← 分子×共役
E2: =IMREAL(IMPRODUCT(B2, C2))                  ← 分母×共役
F2: =COMPLEX(IMREAL(D2)/E2, IMAGINARY(D2)/E2)   ← 共役を使った結果
G2: =IMDIV(A2, B2)                              ← IMDIVの結果

セル	中身	手計算の値
C2	分母の共役	3-4i
D2	分子×共役	(1+2i)(3-4i) = 11+2i
E2	分母×共役	3² + 4² = 25
F2	共役を使った結果	11/25 + (2/25)i = 0.44+0.08i
G2	IMDIV の結果	0.44+0.08i

F2 と G2 が同じ値になれば、共役を使った手順と IMDIV の答えが一致したことになります。逆に (0.44+0.08i)(3+4i) を計算すると 1+2i に戻るので、答えの検算にも使えますね。

表示の末尾に細かい桁が出たら、IMREAL と IMAGINARY で実部と虚部を取り出します。ROUND で丸めてから比べてみてください。

交流回路の複素電力 S = V × I* と皮相電力を計算する

交流回路では、電圧と電流をフェーザ（大きさと位相をもつ複素数）で表します。このとき複素電力 S は、電圧に電流の共役を掛けた S = V × I* で求められます。

S の実部が有効電力 P（W）、虚部が無効電力 Q（var）です。そして S の大きさ |S| が皮相電力（VA）。S そのものを皮相電力と呼ぶ説明も見かけますが、正確には「複素電力 S の大きさが皮相電力」と区別しておきましょう。

なぜ電流だけ共役を取るのでしょうか。V と I をそのまま掛けると、両者の位相角が足し算になってしまいます。電流の共役を取ると「電圧と電流の位相の差」が残り、力率の計算に必要な角度が得られるわけです。

例として、電圧 V = 100+0i（V）、電流 I = 8-6i（A）とします。どちらも実効値（RMS）のフェーザで、電流が電圧より遅れる誘導性の負荷を想定した値です。

A2: 100+0i                             ← 電圧 V（実効値）
B2: 8-6i                               ← 電流 I（実効値）
C2: =IMPRODUCT(A2, IMCONJUGATE(B2))    ← 複素電力 S
D2: =IMREAL(C2)                        ← 有効電力 P
E2: =IMAGINARY(C2)                     ← 無効電力 Q
F2: =IMABS(C2)                         ← 皮相電力（S の大きさ）
G2: =D2/F2                             ← 力率

項目	セル	手計算の値
電流の共役 I*	（C2 の内部）	8+6i
複素電力 S	C2	100 × (8+6i) = 800+600i
有効電力 P	D2	800 W
無効電力 Q	E2	600 var
皮相電力（S の大きさ）	F2	√(800² + 600²) = 1000 VA
力率	G2	800 ÷ 1000 = 0.8（遅れ）

無効電力の取り出しにはIMAGINARY関数を使っています。検算として |V| × |I| を計算すると、100 × √(8² + 6²) = 100 × 10 = 1000 VA。皮相電力と一致しました。

最後に、無効電力 Q の符号には流儀の違いがある点も押さえておきましょう。S = V × I* の流儀では、遅れ電流（誘導性）で Q が正、進み電流（容量性）で Q が負になります。

電圧側の共役を取る流儀もあります。教科書や現場の表記と符号が逆に見えたら、どちらの式を採っているかを確かめてください。ピーク値のフェーザなら S = V × I* ÷ 2 とする流儀もあります。この例は実効値で計算しています。

IMCONJUGATE関数のエラーと思った結果にならないときの対処法

IMCONJUGATE が思いどおりに動かないときの原因は、主に2つ。「複素数の書き方」か「戻り値が文字列であること」のどちらかです。下の早見表は、当サイトが Google スプレッドシートの実機で確かめた IM 系関数の規則にもとづいています。

症状→原因→直し方の早見表

症状（式の例）	原因	直し方
=IMCONJUGATE(“3+4I”) が #NUM!	虚数単位が大文字の I	小文字の i か j にする
=IMCONJUGATE(“３+４i”) が #NUM!	数字や i が全角	すべて半角にする
=IMCONJUGATE(“3　+　4i”) が #NUM!	全角の空白が入っている	全角の空白を削除する
=IMCONJUGATE(“3+4k”) が #NUM!	i・j 以外の文字	虚数単位を i か j にする
=IMCONJUGATE(“hello”) が #NUM!	複素数ではない文字列	参照先の中身を確認する
=IMCONJUGATE(TRUE) が #NUM!	論理値を渡している	参照先のセルを確認する
=IMCONJUGATE(A2) が #N/A	参照先のセルがすでに #N/A	参照先のエラーを先に直す
=IMPRODUCT(“3+4i”,”3-4j”) が #NUM!	i と j が混在している	どちらか一方にそろえる
=IMCONJUGATE(“3+4i”)+1 が #VALUE!	戻り値が文字列	IMREAL などで数値にする
=ABS(“3+4i”) が #VALUE!	ABS は複素数を扱えない	IMABS を使う

逆に、「3 + 4i」や「 3+4i 」のような半角の空白は問題になりません。見た目は正しいのにエラーになるなら、全角の空白や数字が紛れていないか疑ってみてください。

#N/A のセルを参照したときは、#VALUE! に変わらず #N/A がそのまま返ってきます。ネットの解説（Excel 向けを含む）では、別のエラー名が書かれていることもあります。スプレッドシートではこの表を基準にしてください。

i と j の混在は、z × z̄ や V × I* のように2つの複素数を掛けるときに起きがちです。COMPLEX で j 表記を作った列と、i で手入力した列を混ぜないようにしましょう。

IFERRORでエラーを吸収する

入力データに書式の乱れが混じりそうなら、IFERROR関数で包んでおくと表全体が崩れません。IFERROR は、エラーのときに代わりの値を返す関数です。

=IFERROR(IMCONJUGATE(A2), "形式エラー")

一般に IFERROR はエラーの種類を問わず置き換えます。ただ、何でも隠してしまうと原因に気づきにくくなります。まず早見表で原因をつぶし、それでも混入が避けられない列にだけ使うのがおすすめ。

IMCONJUGATEと組み合わせる複素数関数とExcel版との違い

組み合わせて使うIM系関数

IMCONJUGATE は「複素数から複素数を作る」関数なので、単体よりも他の IM 系関数と組み合わせる場面が中心です。この記事で登場した関数と、その役割をまとめました。

関数	役割	この記事での使いどころ
COMPLEX	実部と虚部から複素数を作る	COMPLEX の結果を共役にする
IMREAL	実部を数値で取り出す	z×z̄ の数値化・有効電力
IMAGINARY	虚部を数値で取り出す	割り算の虚部・無効電力
IMABS	絶対値（大きさ）を返す	絶対値の二乗の検算・皮相電力
IMARGUMENT	偏角（位相角）を返す	共役で偏角の符号が反転することの確認
IMPRODUCT	複素数の掛け算	z×z̄ と V×I* の計算
IMDIV	複素数の割り算	共役を使った割り算との一致確認
IMSUM	複素数の足し算	IM 系の結果どうしを足すとき
IMSUB	複素数の引き算	IM 系の結果どうしの差を取るとき